当兵体检的负责机构如下：
县、市征兵办公室：
根据《征兵工作条例》第十六条的规定，县、市征兵办公室负责统一组织应征公民的体格检查工作。
同级卫生行政部门：
具体负责体格检查的实施，可以指定体检医院，也可以统一抽调医务人员组成体检组，设立体检站。
体检医院或体检组：
征兵办公室可以指定具体的医院作为体检地点，或者抽调医务人员组成体检组进行巡回体检。
武装部：
在具体实施过程中，武装部会与当地医院协调，确保应征公民按时到指定医院或体检站进行体格检查。
综上所述，当兵体检由县、市征兵办公室统一组织，同级卫生行政部门具体负责，可以指定体检医院，也可以统一抽调医务人员组成体检组，设立体检站。
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